Số nguyên tố họ hàng

Trong toán học, một số nguyên tố họ hàng (cousin prime) là một cặp số nguyên tố lệch nhau bốn đơn vị; các số nguyên tố họ hàng dưới 1000 theo A023200 và A046132 (trong OEIS) là:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 441), (457, 461), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Tính chất

Số nguyên tố duy nhất thuộc về hai cặp số nguyên tố họ hàng là số 7. Một trong 3 giá trị n, n+4, n+8 luôn chia hết bởi 3, nên n = 3 là trường hợp duy nhất sao cho cả 3 giá trị này nguyên tố.

Một ví dụ của cặp số nguyên tố đã được chứng minh (p, p + 4) là

p = 4111286921397 · 2⁶⁶⁴²⁰ + 1

cặp này có 20008 chữ số. Hơn nữa, đây còn là 1 phần của bộ ba số nguyên tố bởi p còn là số nguyên tố sinh đôi (bởi p − 2 cũng là số nguyên tố đã được chứng minh).

Tính đến tháng 4 năm 2022^{[cập nhật]}, Cặp số nguyên tố họ hàng lớn nhất được tìm thấy bởi S. Batalov và nó có 51,934 chữ số. Cặp số nguyên tố đó là:

p =

29055814795 x (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³) + 2⁸⁶²⁴⁵ - 3

p +4 =

29055814795 x (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³) + 2⁸⁶²⁴⁵ + 1^[1]

Từ giả thuyết Hardy–Littlewood, ta tìm được số nguyên tố họ hàng có mật độ tiệm cận với số nguyên tố sinh đôi. Do đó, ta có thể tính tương tự hằng số Brun cho số nguyên tố họ hàng như với số nguyên tố sinh đôi, gọi là Hằng Brun cho số nguyên tố họ hàng, với cặp (3, 7) ẩn đi bằng tổng hội tụ:^[2]

B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .

Tính các số nguyên tố họ hàng lên tới 2⁴², giá trị của B₄ được tính xấp xỉ bởi Marek Wolf trong 1996 bởi

B₄ ≈ 1.1970449.^[3]

Hằng số này không nên nhầm lẫn với hằng số Brun dành cho bộ bốn số nguyên tố, cũng được ký hiệu B₄.

Số Skewes cho số nguyên tố họ hàng là $5206837$ (Tóth (2019)).

Xem thêm

Bảng số nguyên tố

Liên kết

MathWorld: Cousin Primes

Tham khảo

^ Batalov, S. “Let's find some large sexy prime pair[s]”. mersenneforum.org. Truy cập ngày 3 tháng 10 năm 2019.^{[liên kết hỏng]}
^ Segal, B. (1930). “Generalisation du théorème de Brun”. C. R. Acad. Sci. URSS (bằng tiếng Nga). 1930: 501–507. JFM 57.1363.06.
^ Marek Wolf (1996), On the Twin and Cousin Primes.

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

[1] Batalov, S. “Let's find some large sexy prime pair[s]”. mersenneforum.org. Truy cập ngày 3 tháng 10 năm 2019.^{[liên kết hỏng]}

[2] Segal, B. (1930). “Generalisation du théorème de Brun”. C. R. Acad. Sci. URSS (bằng tiếng Nga). 1930: 501–507. JFM 57.1363.06.

[3] Marek Wolf (1996), On the Twin and Cousin Primes.

[1]

[2]

[3]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố