Số nguyên tố Sophie Germain

Trong lý thuyết số, số nguyên tố ${\displaystyle p}$ được gọi là số nguyên tố Sophie Germain nếu ${\displaystyle 2\cdot p+1}$ cũng là số nguyên tố. Số ${\displaystyle 2\cdot p+1}$ của số nguyên tố Sophie Germain được gọi là số nguyên tố an toàn. Ví dụ, 11 là một số nguyên tố Sophie Germain vì ${\displaystyle 2\cdot 11+1=23}$ là số nguyên tố an toàn đi kèm với nó. Số nguyên tố Sophie Germain được đặt tên theo nhà toán học Pháp Sophie Germain, bà đã sử dụng chúng để khảo sát định lý cuối cùng của Fermat.^[1] Số nguyên tố Sophie Germain cùng số nguyên tố an toàn có nhiều ứng dụng trong mã hóa khóa công khai và phép kiểm tra tính nguyên tố. Người ta phỏng đoán rằng có vô số số nguyên tố Sophie Germain nhưng điều này chưa được chứng minh.

Các số nguyên tố riêng biệt

Danh sách các số nguyên tố Sophie Germain đầu tiên: (nhỏ hơn 1000)

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953.  A005384.

Danh sách các số nguyên tố an toàn đầu tiên:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907.  A005385.

Trong mật mã học các số nguyên tố Sophie Germain lớn hơn nhiều như 1,846,389,521,368 + 11⁶⁰⁰ thường được sử dụng.

Hai dự án tính toán phân tán, PrimeGrid và Twin Prime Search, bao gồm nhiều nghiên cứu về các số nguyên tố lớn Sophie Germain.

Danh sách các số nguyên tố Sophie Germain lớn nhất được biết tới Tháng 8, 2022:^[2]

Giá trị	Số chữ số	Thời điểm phát hiện	Người tìm ra
2618163402417 × 2^1290000 − 1	388342	Tháng 2, 2016	PrimeGrid[3]
18543637900515 × 2^666667 − 1	200701	Tháng 4, 2012	Philipp Bliedung tai nghiên cứu phân tán PrimeGrid bằng chương trình TwinGen và LLR[4]
183027 × 2^265440 − 1	79911	Tháng 3, 2010	Tom Wu sử dụng giải thuật LLR[5]
648621027630345 × 2^253824 − 1 và 620366307356565 × 2^253824 − 1	76424	Tháng 11, 2009	Zoltán Járai, Gábor Farkas, Tímea Csajbók, János Kasza và Antal Járai[6][7]
1068669447 × 2^211088 − 1	63553	Tháng 5, 2020	Micheal Kwok[8]
99064503957 × 2^200008 − 1	60220	Tháng 4, 2016	S. Urushihata[9]
12443794755  × 2^184516 − 1, 21749869755  ×  2^184515 − 1 và 14901867165  ×  2^184515 − 1	55555	Tháng 9, 2021	Serge Batalov[10][11][12]
607095 × 2^176311 − 1	53081	Tháng 9, 2009	Tom Wu[13]
48047305725 × 2^172403 − 1	51910	Tháng 1, 2007	David Underbakke với chương trình TwinGen cùng giải thuật LLR[14]

Tính vô hạn và mật độ

Vấn đề mở trong toán học: Liệu có vô hạn số nguyên tố Sophie Germain? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Người ta dự đoán rằng có vô số số nguyên tố Sophie Germain, nhưng điều này chưa được chứng minh.^[15] Một số dự đoán nổi tiếng khác trong lý thuyết số tổng quát dự đoán này và dự đoán số nguyên tố sinh đôi; chúng gồm dự đoán Dickson, giả thuyết H của Schinzel, và ước lượng Bateman–Horn.

Ước lượng heuristic cho số các số nguyên tố Sophie Germain nhỏ hơn n là^[15]

${\displaystyle 2C{\frac {n}{(\ln n)^{2}}}\approx 1.32032{\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

trong đó

${\displaystyle C=\prod _{p>2}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161}$

là hằng số nguyên tố đôi của Hardy–Littlewood. Khi ${\displaystyle n=10^{4}}$, ước lượng này dự đoán có 156 số nguyên tố Sophie Germain, có tỉ lệ sai số 20% so với con số chính xác là 190. Khi ${\displaystyle n=10^{7}}$, dự đoán có 50822 số, sai số là 10% so với giá trị chính xác 56032. Hình thức ước lượng này dựa trên Godfrey Harold Hardy và John Edensor Littlewood, người áp dụng ước lượng tương tự cho số nguyên tố sinh đôi.^[16]

Dãy ${\displaystyle \{p,2\cdot p+1,2\cdot (2\cdot p+1),\ldots \}}$ trong đó tất cả phần tử là số nguyên tố được gọi là chuỗi Cunningham loại 1. Mỗi phần tử trong chuỗi như vậy trừ phần tử cuối cùng là một số nguyên tố Sophie Germain, và mọi phần tử trừ phần tử đầu tiên là số nguyên tố an toàn. Bằng cách mở rộng dự đoán có vô hạn số nguyên tố Sophie Germain, người ta cũng dự đoán rằng tồn tại chuỗi Cunningham có độ dài tùy ý,^[17] mặc dù chuỗi vô hạn được coi là không khả thi.^[18]

Hạn chế Mô đun

Nếu p là một số nguyên tố Sophie Germain lớn hơn 3 thì p phải đồng dư với 2 (mod 3). Bởi vì nếu không thì p sẽ đồng dư với 1 (mod 3) và ${\displaystyle 2\cdot p+1}$ sẽ đồng dư 3 (mod 3), vô lý với số nguyên tố.^[19] Tồn tại hạn chế tương tự cho các mô đun nguyên tố lớn hơn, đó là cơ sở cho lựa chọn "thừa số hiệu chỉnh" 2C trong ước lượng Hardy–Littlewood về mật độ của số nguyên tố Sophie Germain.^[15]

Nếu số nguyên tố Sophie Germain p đồng dư 3 (mod 4), thì số nguyên tố an toàn đi kèm của nó ${\displaystyle 2\cdot p+1}$ sẽ là một ước số của số nguyên tố Mersenne ${\displaystyle 2^{p}-1}$. Về mặt lịch sử, kết quả của Leonhard Euler là tiêu chí được biết đến đầu tiên cho số Mersenne với một chỉ số nguyên tố đi kèm.^[20] Nó có thể được sử dụng để tìm ra các số Mersenne lớn nhất (với chỉ số nguyên tố) khi biết chúng là một cặp.^[21]

Ứng dụng

Mật mã

Số nguyên tố ${\displaystyle p=2\cdot q+1}$ được gọi là số nguyên tố an toàn nếu như q là số nguyên tố. Do đó ${\displaystyle p=2\cdot q+1}$ là số nguyên tố an toàn khi và chi khi q là số nguyên tố Sophie Germain, do vậy việc tìm ra các số nguyên tố an toàn và việc tìm số Sophie Germain có độ khó tính toán tương đương nhau. Khái niệm số nguyên tố an toàn có thể trở thành số nguyên tố mạnh khi cả ${\displaystyle p+1}$ và ${\displaystyle p-1}$ đều có các thừa số nguyên tố đủ lớn. Các số nguyên tố an toàn và mạnh có tính hữu dụng trong việc là thừa số của khóa bí mật trong hệ mã hóa RSA, do chúng ngăn chặn việc phá hệ mã hóa bằng các giải thuật phân tích thừa số nguyên tố đã biết như giải thuật Pollard được áp dụng cho các khóa bí mật không phải là số nguyên tố mạnh.^[22]

Các vấn đề tương tự cũng được áp dụng cho các hệ mã hóa khác bao gồm trao đổi khóa Diffie–Hellman và các hệ tương đương có độ an toàn phụ thuộc vào độ khó của bài toán Lôgarit rời rạc hơn là việc phân tích thừa số số nguyên.^[23] Vì lý do này mà các giao thức tạo khóa cho các phương pháp này thường dựa trên các giải thuật hiệu quả trong việc tạo các số nguyên tố mạnh, mà các giải thuật đó lại dựa trên dự đoán rằng các số nguyên tố này có mật độ đủ lớn.^[24]

Trong chế độ mã hóa Sophie Germain Counter, người ta đề xuất sử dụng các giải thuật trong trường hữu hạn có cấp bằng với số nguyên tố Sophie Germain ${\displaystyle 2^{128}+12451}$ để khắc phục nhược điểm trong chế độ mã hóa Galois/Counter Mode sử dụng trường hữu hạn nhị phân GF(2¹²⁸). Tuy nhiên SGCM được chứng minh rằng có cùng điểm yếu trong nhiều tấn công mã hóa tương tự GCM.^[25]

Kiểm tra tính nguyên tố

Trong phiên bản đầu tiên của nghiên cứu phép kiểm tra tính nguyên tố AKS, một dự đoán về số nguyên tố Sophie Germain được sử dụng để giảm độ phức tạp của trường hợp xấu nhất từ O(log¹²n) giảm thành O(log⁶n). Phiên bản sau của nghiên cứu được chứng minh rằng có độ phức tạp thời gian O(log^7.5n) mà cũng có thể giảm thành O(log⁶n).^[26] Những biến thể sau này của AKS đã chứng minh có độ phức tạp thời gianO(log⁶n) mà không cần bất kỳ dự đoán nào hay là sử dụng số nguyên tố Sophie Germain.

Tạo số giả ngẫu nhiên

Có thể sử dụng số nguyên tố Sophie Germain để tạo các số giả ngẫu nhiên. Mở rộng thập phân của 1/q sẽ sinh ra dòng ${\displaystyle q-1}$ chữ số giả ngẫu nhiên nếu q là số nguyên tố an toàn của số Sophie Germain p, trong đó p đồng dư 3, 9, hoặc 11 (mod 20).^[27] Do đó các số nguyên tố q "phù hợp" là 7, 23, 47, 59, 167, 179, vân vân. ( A000353) (tương ứng với ${\displaystyle p=3,11,23,29,83,89}$; vân vân.) ( A000355). Kết quả là dòng chữ số dài ${\displaystyle q-1}$ (tính luôn các số 0 ở trước). Ví dụ, với q = 23 ta tạo được các con số giả ngẫu nhiên 0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3. Chú ý rằng không phù hợp với mục đích mã hóa do giá trị của mỗi số có thể được dự đoán từ giá trị đứng trước trong chuỗi số.

Trong văn hóa đại chúng

• Số nguyên tố Sophie Germain được đề cập trong vở kịch sân khấu Proof^[28] và bộ phim cùng tên.^[29]

• "The Da Vinci Code" (Mật mã Da Vinci) của Dan Brown: Cuốn tiểu thuyết trinh thám nổi tiếng này sử dụng số nguyên tố Sophie Germain trong một mật mã bí ẩn.
• "Sneakers" (Kẻ đột nhập):: Bộ phim khoa học viễn tưởng này sử dụng số nguyên tố Sophie Germain trong một thuật toán mật mã.
• "The Sophie Germain Problem" của Paul Erdős: Vấn đề Sophie Germain là một bài toán nổi tiếng trong lý thuyết số liên quan đến số nguyên tố Sophie Germain.

Tham khảo

1. Đặc biệt, bà Germain chứng minh trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat, trường hợp tích các cơ số chia hết cho số mũ, là đúng cho mọi số nguyên tố Sophie Germain, và bà cũng dùng luận điểm tương tự để chứng minh định lý Fermat cho các số nguyên tố < 100. Xem chi tiết Edwards, Harold M. (2000), Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 50, Springer, tr. 61–65, ISBN 9780387950020.
2. The Top Twenty Sophie Germain Primes — from the Prime Pages. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2022.
3. The Prime Database: 2618163402417×2^1290000 - 1
4. “PrimeGrid's Sophie Germain Prime Search” (PDF). PrimeGrid. Truy cập ngày 18 tháng 4 năm 2012.
5. The Prime Database: 183027*2^265440-1. From The Prime Pages.
6. The Prime Database: 648621027630345*2^253824-1.
7. The Prime Database: 620366307356565*2^253824-1
8. “The Prime Database: 1068669447*2^211088-1”.
9. “The Prime Database: 99064503957*2^200008-1”.
10. The Prime Database: 12443794755 *2^184516-1 .
11. “The Prime Database: 21749869755*2^184515-1”.
12. “The Prime Database: 14901867165*2^184515-1”.
13. The Prime Database: 607095*2^176311-1.
14. The Prime Database: 48047305725*2^172403-1.
15. ^ Shoup, Victor (2009), “5.5.5 Sophie Germain primes”, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University Press, tr. 123–124, ISBN 9780521516440.
16. Ribenboim, Paulo (1999), Fermat's Last Theorem for Amateurs, Springer, tr. 141, ISBN 9780387985084.
17. Wells, David (2011), Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, tr. 35, ISBN 9781118045718, If the strong prime k-tuples conjecture is true, then Cunningham chains can reach any length.
18. Löh, Günter (1989), “Long chains of nearly doubled primes”, Mathematics of Computation, 53 (188): 751–759, doi:10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8, MR 0979939.
19. Krantz, Steven G. (2010), An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture Through Problem Solving, Mathematical Association of America, tr. 206, ISBN 9780883857663.
20. Ribenboim, P. (1983), “1093”, The Mathematical Intelligencer, 5 (2): 28–34, doi:10.1007/BF03023623, MR 0737682.
21. Dubner, Harvey (1996), “Large Sophie Germain primes”, Mathematics of Computation, 65: 393–396, doi:10.1090/S0025-5718-96-00670-9, MR 1320893.
22. Rivest, Ronald L.; Silverman, Robert D. (ngày 22 tháng 11 năm 1999), Are 'strong' primes needed for RSA? (PDF)
23. Cheon, Jung Hee (2006), “Security analysis of the strong Diffie–Hellman problem”, 24th Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques (EUROCRYPT'06), St. Petersburg, Russia, May 28 – ngày 1 tháng 6 năm 2006, Proceedings (PDF), Lecture Notes in Computer Science, 4004, Springer-Verlag, tr. 1–11, doi:10.1007/11761679_1.
24. Gordon, John A. (1985), “Strong primes are easy to find”, Proceedings of EUROCRYPT 84, A Workshop on the Theory and Application of Cryptographic Techniques, Paris, France, April 9–11, 1984, Lecture Notes in Computer Science, 209, Springer-Verlag, tr. 216–223, doi:10.1007/3-540-39757-4_19.
25. Yap, Wun-She; Yeo, Sze Ling; Heng, Swee-Huay; Henricksen, Matt (2013), “Security analysis of GCM for communication”, Security and Communication Networks, doi:10.1002/sec.798.
26. Agrawal, Manindra; Kayal, Neeraj; Saxena, Nitin (2004), “PRIMES is in P” (PDF), Annals of Mathematics, 160 (2): 781–793, doi:10.4007/annals.2004.160.781, JSTOR 3597229
27. Matthews, Robert A. J. (1992), “Maximally periodic reciprocals”, Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 28 (9–10): 147–148, MR 1192408.
28. Peterson, Ivars (21 tháng 12 năm 2002), “Drama in numbers: putting a passion for mathematics on stage”, Science News, [Jean E.] Taylor pointed out that the example of a Germain prime given in the preliminary text was missing the term "+ 1." "When I first went to see 'Proof' and that moment came up in the play, I was happy to hear the 'plus one' clearly spoken," Taylor says.
29. Ullman, Daniel (2006), “Movie Review: Proof” (PDF), Notices of the AMS, 53 (3): 340–342, There are a couple of breaks from realism in Proof where characters speak in a way that is for the benefit of the audience rather than the way mathematicians would actually talk among themselves. When Hal (Harold) remembers what a Germain prime is, he speaks to Catherine in a way that would be patronizing to another mathematician.